Klammern sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik, deswegen werden im folgenden Text die Klammerregeln, oder auch Klammergesetze, für die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division einfach erklärt.
Klammerregeln bei der Addition #
Als Erstes schauen wir uns an, wie man bei der Addition mit Klammern rechnet. Wir betrachten als Beispiel den Term 3+(5+2+7)3+(5+2+7) und wollen diesen berechnen. Um die Klammer aufzulösen, wird der Ausdruck in der Klammer immer zuerst berechnet, es ist 5+2+7 = 145+2+7= 14, also ergibt sich insgesamt:
3+(5+2+7) = 3+14 = 173+(5+2+7) = 3+14 = 17
Was passiert, wenn wir die Klammern hier einfach weglassen? Dann berechnen wir die Summe, indem wir von links nach rechts rechnen, und erhalten:
3+5+2+7 = 173+5+2+7 = 17
Das Ergebnis ist das Gleiche wie in der Berechnung mit Klammern.
Wir schauen uns noch ein zweites Beispiel an:
8+1+(2+6+2) = 8+1+10 = 198+1+(2+6+2)= 8+1+10 = 19
Wenn wir ohne Klammern von links nach rechts rechnen, erhalten wir: 8+1+2+6+2 = 198+1+2+6+2 = 19. Bei Summen können wir die Klammern also einfach weglassen.
In allgemeiner Schreibweise können wir festhalten:
a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c
Diese Regel nennt man das Assoziativgesetz der Addition.
Klammerregeln bei der Multiplikation #
Gilt das Assoziativgesetz auch für die Multiplikation? Um dies herauszufinden, möchten wir das Produkt 4⋅(11⋅3)4⋅(11⋅3) einmal mit Klammern und einmal ohne Klammern ausrechnen. Wir berechnen wieder zuerst den Ausdruck in der Klammer:
4⋅(11⋅3)=4⋅33=1324⋅(11⋅3)=4⋅33=132
Auch wenn wir ohne Klammern von links nach rechts rechnen, erhalten wir:
4⋅11⋅3=44⋅3=1324⋅11⋅3=44⋅3=132
Für diese Rechnung haben die Klammern also keine Rolle gespielt. Wir schauen uns ein zweites Beispiel an:
2⋅6⋅(2⋅6)=2⋅6⋅12=1442⋅6⋅(2⋅6)=2⋅6⋅12=144
Rechnen wir ohne Klammern von links nach rechts, ergibt sich ebenfalls:
2⋅6⋅2⋅6=1442⋅6⋅2⋅6=144
Man nennt dies das Assoziativgesetz der Multiplikation. Wir schreiben dafür allgemein:
a ⋅ (b ⋅ c) = a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c
Das Assoziativgesetz gilt sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.
Klammerregeln bei der Subtraktion #
Für die Addition und die Multiplikation haben wir nun gesehen, dass wir die Klammern einfach weglassen können. Aber wie sieht es bei der Subtraktion aus? Was macht man, wenn ein Minus vor der Klammer steht? Dafür schauen wir uns wieder ein Beispiel an: 9−(4−1−2)9−(4−1−2).
Wir berechnen zuerst den Ausdruck in der Klammer und erhalten:
9−(4−1−2)=9–1=89−(4−1−2)=9–1 = 8.
Was kommt hier raus, wenn wir die Klammern einfach weglassen?
9−4−1−2=5−1−2=4−2=29−4−1−2=5−1−2=4−2=2
Es kommt etwas anderes heraus als bei der Rechnung mit Klammern. Bei der Subtraktion können wir also die Klammer nicht einfach weglassen! Das Assoziativgesetz gilt hier nicht.
Steht ein Minus vor einer Klammer, so verwenden wir beim Auflösen dieser Minusklammer die Gegenoperation für die Operationen innerhalb der Klammer. Das bedeutet für das Beispiel von oben:
9−(4−1−2)=9−4+1 + 2=89−(4−1−2)=9−4+1 + 2=8
Du kannst dir die Minusklammerregel mit folgendem Merksatz merken: „Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich um der ganze Jammer!“
In allgemeiner Schreibweise bedeutet das:
a − ( b − c) = a − b + c
Nun können wir auch die Frage beantworten, wann sich das Vorzeichen in der Klammer ändert: bei einem Minuszeichen vor der Klammer.
Klammerregeln bei der Division #
Es fehlt nun von den Grundrechenarten noch die Division. Auch hierfür schauen wir uns ein Beispiel an, das wir einmal mit Klammern und einmal ohne Klammern berechnen. Zunächst rechnen wir mit den gesetzten Klammern:
12:(6:2)=12:3 = 412:(6:2)=12:3=4
Rechnen wir hier von links nach rechts ohne Klammern, erhalten wir:
12:6:2 = 2:2 = 112:6:2 = 2:2=1
Wir erhalten unterschiedliche Werte. Also können wir bei der Division die Klammern nicht einfach weglassen. Wir können aber wieder die Gegenoperation verwenden. Das bedeutet für dieses Beispiel:
12:(6:2)=12:6⋅2=412:(6:2)=12:6⋅2=4
In der allgemeinen Schreibweise lautet die Regel:
a : (b : c) = a : b ⋅ c
