Wurzeln in der Mathematik #
Du kennst die Wurzeln von Blumen und Bäumen – aber weißt du auch, was eine Wurzel in der Mathematik ist? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen.
Was ist eine Wurzel? #
Bevor wir die mathematische Definition der Wurzel anschauen, betrachten wir die folgende Tabelle.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
In der ersten Zeile stehen Zahlen von 11 bis 88. In der Zeile darunter stehen die Quadratzahlen der Zahlen aus der ersten Zeile. Wenn wir eine Zahl in der ersten Zeile auswählen, erhalten wir also die untere Zahl, indem wir sie quadrieren. Wenn wir eine Zahl in der unteren Zeile auswählen, erhalten wir die Zahl in der oberen, wenn wir uns die Frage stellen: Welche Zahl müssen wir quadrieren, um die Zahl y=x^2 zu erhalten? Eine Antwort auf diese Frage liefert die Quadratwurzel.
In der Mathematik gilt für die Quadratwurzel die folgende Definition:
Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl �x ist diejenige nicht negative Zahl �y, deren Quadrat gleich �x ist. Die Quadratwurzel wird mit dem Wurzelzeichen 22 angezeigt:
�2=�⇒�2=�2x=y⇒y2=x
Die Zahl �=�2y=2x heißt Wurzel oder Radikal, die Zahl �x unter der Wurzel heißt Radikand und die Zahl 22 über dem Wurzelzeichen heißt Wurzelexponent. Der Wurzelexponent ist eine natürliche Zahl. Die Berechnung einer Wurzel nennt man auch das Radizieren oder das Ziehen einer Wurzel.
Genauso, wie nicht nur eine 22, sondern jede beliebige Zahl im Exponenten stehen kann, gibt es nicht nur die Quadratwurzel. Auch im Wurzelexponenten kann jede beliebige natürliche Zahl stehen. Dazu schauen wir uns die folgende Tabelle an.
| �x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| �3x3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 |
In der ersten Zeile stehen wieder natürliche Zahlen. In der zweiten Zeile stehen diesmal die Kubikzahlen der entsprechenden Zahlen. Um von einer Zahl in der ersten Zeile zu der zugehörigen Zahl in der unteren Zeile zu gelangen, müssen wir sie diesmal zweimal mit sich selbst multiplizieren, also hoch drei rechnen. Um von einer Zahl in der unteren Reihe zur dazugehörigen Zahl in der ersten Zeile zu gelangen, müssen wir die Kubikwurzel ziehen. Um die Kubikwurzel anzuzeigen, schreiben wir eine 33 in den Wurzelexponenten:
�3=�⇒�3=�3x=y⇒y3=x
Auch hier gilt, dass �x und �y nicht negativ sein dürfen.
In dieser Form kann man die Wurzel für jede beliebige natürliche Zahl als Exponenten schreiben.
| Potenzieren | �2x2 | �3x3 | �4x4 | �5x5 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| Radizieren | 22 | \33 | 44 | 55 | … |
Das Wurzelziehen ist also die Umkehroperation zum Potenzieren.
Wurzeln – Beispiele #
Wir wollen uns ein paar einfache Beispiele zu Wurzeln anschauen.
Beispiel 1: 99
Gesucht ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat 99 ergibt. Da 3⋅3=93⋅3=9 ist, ist 33 die Wurzel aus 99:
9=3⇔32=99=3⇔32=9
Für die Zahl −3−3 gilt auch, dass ihr Quadrat 99 ist, denn (−3)2=(−3)⋅(−3)=9(−3)2=(−3)⋅(−3)=9. Aber −3−3 ist nicht die Wurzel aus 99, denn −3−3 ist negativ.
Beispiel 2: 1616
Gesucht ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat 1616 ergibt. Da 4⋅4=164⋅4=16 ist, ist 44 die Wurzel aus 1616:
16=4⇔42=1616=4⇔42=16
Beispiel 3: 643364
Gesucht ist die nicht negative Zahl, die 6464 ergibt, wenn man sie zweimal mit sich selbst malnimmt. Da 4⋅4⋅4=644⋅4⋅4=64 ist, ist 44 die dritte Wurzel aus 6464:
643=4⇔43=4364=4⇔43=4
Wurzeln – Besonderheiten #
Wir wollen uns zum Schluss noch zwei Besonderheiten aus der Definition der Wurzeln anschauen. Wir beginnen mit der Bedingung, dass der Radikand �x eine nicht negative Zahl sein muss.
Wir überlegen uns, was passiert, wenn der Radikand negativ ist. Dazu betrachten wir die Wurzel aus −4−4:
−4=?−4=?
Wir wissen aus den vorigen Beispielen, dass die Wurzel aus +4+4 die Zahl 22 ist. 22 kann also nicht die Lösung dieser Gleichung sein, denn 22=+422=+4. Was ist, wenn wir stattdessen −2−2 quadrieren?
(−2)2=(−2)⋅(−2)=+4(−2)2=(−2)⋅(−2)=+4
Also ergibt (−2)2(−2)2 auch +4+4, ist also auch keine Lösung für die Wurzel aus −4−4. Wir wissen auch, dass minus mal minus immer plus ergibt. Also können wir keine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist. Also hat die Gleichung −4=?−4=? keine Lösung.
Und warum heißt es nicht, dass der Radikand positiv sein muss?
Es gibt eine Zahl, die weder positiv noch negativ ist, und das ist die 00. Da 0⋅0=00⋅0=0 ist, ist 00 die Lösung der Gleichung 0=�0=y:
0=00=0
Damit wissen wir, warum es in der Definition heißt, dass der Radikand eine nicht negative Zahl sein muss.
Und warum muss die Wurzel selbst eine nicht negative Zahl sein? Wir haben doch gesehen, dass (−2)2=4(−2)2=4 gilt! Dass das Ergebnis des Wurzelziehens immer eine nicht negative Zahl ist, ist per Definition so festgelegt. Man könnte auch schreiben:
�=∣�∣⇔∣�∣2=�⇔�2=�x=∣y∣⇔∣y∣2=x⇔y2=x
Hier ist ∣�∣∣y∣ die Wurzel aus �x. Mit den beiden Äquivalenzen wird ausgedrückt, dass die Wurzel immer positiv oder 00 ist und dass die Potenz einer negativen Zahl dasselbe ergibt wie die Potenz des Betrags dieser Zahl.
